Пример ошибки в понимании вероятности. Ниже представлен хорошо известный тест, смущающий медицинскую профессию. Следующий вопросник предлагался докторам медицины. Болезнь затрагивает 1/1000 часть населения. Тест на заболевание дает 5% ложных положительных результатов. Люди проверяются наугад, независимо от того, подозреваются ли они в наличии болезни. Тест пациента положителен. Какова вероятность, что пациент поражен болезнью? Большинство докторов ответило, что 95%, просто принимая во внимание факт, что испытание имеет степень точности 95%. Ответом является условная вероятность, что пациент является больным, и тест это показывает – близко к 2%. Меньше чем один из пяти профессионалов ответил верно. Поясню правильный ответ. Предположим, что нет ложных отрицательных результатов теста. Из 1000 пациентов, которые проходят тест, ожидается один заболевший. Из оставшихся 999 здоровых пациентов, тест выделит приблизительно 50 с болезнью (это 95%-ная точность). Правильным ответом должно быть то, что вероятность быть заболевшим для кого-то, отобранного наугад, и чей тест является положительным, определяется следующим отношением: Число заболевших людей / Число истинных и ложных положительных результатов теста. Здесь 1 к 51!

1. Есть фактор, который присутствует у 1 из 1000.
2. Есть тест определения этого фактора, дающий 5% ошибок.
3. Какова вероятность наличия фактора при положительном тесте?

Здравый смысл подсказывает, что вероятность равна 95%.
Теория вероятности говорит, что вероятность равна 2%.

Кому верить?

Эта задача иллюстрирует парадокс формулы условной вероятности Байеса.
Формула Байеса сегодня весьма популярна. Статьи о ней.

John Horgan Теорема Байеса: из-за чего весь сыр-бор?
Леонард Млодинов глава о Байесе и его формуле
Формула Байеса в Википедии (см. также ссылки в конце статьи)
Интуитивное объяснение теоремы Байеса (Элиезер Юдковски)
Интуитивное объяснение интуитивного объяснения теоремы Байеса, сделанного Элизером Юдковски (Luke Muehlhauser)
Сергей Багузин Основные понятия теории вероятностей.

Сначала надо понять как получаются эти 2%.

Для этого приведем данные в один масштаб.

Возьмем 100 000 человек. Больных здесь будет 100 человек (0.1% = 1 на 1000).
Тест выявляет 95 больных (95% эффективность теста).
Здоровых всего 99 900. Тест дает ошибку в 5% - это 4995 человек/тестов.

Итого тест дает положительный диагноз в 4995+95=5 090 случаев на 100 000 тестов.
Реально же больных 100 человек.

100 реальных больных / 5090 положительных тестов = 0.0196 = примерно 2% что человек болен на один положительный тест.

Без теста вероятность оказаться больным равна 0.1%.
Положительный тест увеличивает вероятность в 20 раз до 2%.

А если два теста подряд дали диагноз?
Этот вопрос обойден глухим молчанием в восторженных статьях о формуле Байеса.

а) Увеличение вероятности в 20 раз позволяет предположить, что - если результат теста действительно имеет случайную природу - то повторный положительный тест приблизит нас к 95% эффективности теста. Например, повысит вероятность до 20%, т.е. еще в 10 раз. И т.д.

Здесь появляется вопрос: сколько раз следует повторить тест, чтобы достичь заявленной 95%-ной вероятности. Напрашивается ответ в 1000 тестов. Но это с учетом ложных срабатываний теста, то есть с наличием отрицательных тестов. Поэтому вопрос уточняется до: сколько раз подряд должен повторится положительный тест до достижения 95%-ной заявленной вероятности. По аналогии с подбрасыванием монеты можно предположить, что необходимо около 10 плюсов подряд (2¹⁰=1024). То есть дистанцию от 0.1% до 95% можно пройти за 10 тестов. При начальных условиях 0.1-2% и графической аппроксимации до 95% получаем примерно такую последовательность: 0.1-2-5-10-20-40-65-80-90-95%.

б) Но проблема! в том, что с большой вероятностью тот же тест даст тот же результат для того же человека. Что заставляет нас предположить, что первичная вероятность единичного теста либо близка к заявленным 95%, либо что тест и конкретный человек не являются случайной парой.

Пока вы обдумываете ситуацию, обратим внимание на первичное восприятие задачи. Интуиция подсказывает нам 95%, а формула Байеса говорит о 2%. Дело в том, что в задаче надо учитывать и больных и здоровых, и истинные результаты и ложные – в целостном балансе. И интуиция - зачарованная больными и фактами - дает сбой. Почти в 40 раз, если сравнивать чисто арифметически. А если считать результаты конкретными объемными показателями, то линейные ошибки вырастают в 1000 раз.

Другими словами, стремление к истине с одновременным фокусированием на зле/болезни/минусах дает нам ошибки интуиции в разы, десятки, сотни и тысячи раз. Это касается как диагностики болезней, так и оценки людей, так и критики их идей и результатов их деятельности.

Например, судебное следствие (то есть сторона обвинения, у которой на руках все административные козыри) настроена однозначно на поиск вины, хотя и прикрывается разговорами о версиях и мотивах. Формула Байеса прямо указывает, что здесь равное внимание следует уделить пострадавшей стороне с ее свидетелями (стороне обвинения). То же следует делать при оценке любого спора.

Возвращаемся к новой проблеме. Это физическая связь теста и тестируемого, в основе которой лежит физическая неопределенность самого теста и его модельной внутренней структуры. Это физическая неопределенность самих измерений и неопределенность используемой модели интерпретации измерения. Например, электронные микроскопы "видят" только волновые всплески тени того, что они просвечивают. При этом там сложный механизм фокусировки потока электронов и обратной развертки результатов в изображение. В общем, надо иметь высшее образование и еще год учиться, чтобы работать с современным электронным микроскопом. Можно обнаружить неопределенность и прямо. Вот фото одного из новейших микроскопов. В описании http://www.membrana.ru/particle/14168 сказано, что в кружочках атомы урана. Также сказано, что разрешение микроскопа 0.1 нм. При этом диаметр атома урана составляет 0.25 нм (что соответствует картинке и разрешению микроскопа), а вот диаметр ядра Урана
R = 1,23*238^1/3*10^-15 ~ 8*10^-15 м = 0.008 нм. В 12 раз меньше разрешения микроскопа. Это даже не сам диаметр ядра, а диаметр действия ядерных сил. При этом размеры электронов не превышают 10^-20 м. К тому же они не должны фиксироваться материально, так как безумно носятся вдоль и поперек ядра, образуя вероятностное электронное облако. Возникает вопрос, что нам показывают на фото? – Учитывая что и разрешение и фото уже результат модельной статистической обработки. Можно сказать, что мы видим здесь колебания ядре урана на фотографии с выдержкой. А можно предположить, что умельцы подстроили модельно-программное обеспечение микроскопа на поиск модельных атомов урана и получили то, что искали.

В медицинских тестах и умственных экспериментах "физика" куда более грубая. И физическая связь теста и тестируемого довольно сильная. Так что вполне можно предположить, что в исходной задаче здравый смысл куда ближе к истине, чем теория вероятности с ее идеальными независимостями. Но если мы изменим модельную базу и физическую основу теста, то обеспечим реальную независимость и по результатам двух тестов можем диагностировать искомый фактор практически со 100%-ной точностью.

Почему же медики не протестуют против доводов математиков?
Дескать реальная вероятность случайного теста близка к заявленной.

Потому что проблема в полноте картины. Как и в формуле Байеса. Только здесь необходимо добавить реальную неопределенность - физики измерений и научной модели. С физикой измерений на таком грубом уровне похоже проблем немного. А вот с научной моделью большой вопрос. Если медики помалкивают, стало быть реальная погрешность академических методов и моделей сопоставима с парадоксальными оценками по формуле Байеса – разница между здравым смыслом и математикой в разы и десятки раз.

-------------------------------------------

Замечания.

• Статистика - широкое раздольное поле для манипулирования результатами с помощью формулы Байеса.

• Политика, экономика, психология....... Эффекты приятных обещаний и плацебо.

• Важность позитива и рассмотрения со всех сторон.
Формула Байеса + ее коррекция с учетом физической основы эксперимента/опыта указывает, что одностороннее рассмотрение вопроса-предмета-процесса-явления неполноценно. Даже если мы довели рассмотрение до 90%-ной уверенности, реальная вероятность что дело обстоит именно так попадет в диапазон 20-70% вероятности.

• Судебная система.

• Бытовые, дружеские и любовные споры.....

• Паранойя обыденная.

У одного человека пропал топор. Подумал он на сына своего соседа и стал к нему приглядываться: ходит, как укравший топор, глядит, как укравший топор, говорит, как укравший топор, – словом, каждый жест, каждое движение выдавало в нем вора. Но вскоре этот человек стал копать землю у себя в саду и нашел топор. На другой день он снова увидел сына своего соседа: ни жестом, ни взглядом, ни движением не походил тот на вора.

• Физическая неопределенность модели (ее расхождение с материальным объектом) в целом подчиняется познавательной логике. Здесь можно выделить 4 уровня неопределенности и соответствующее число независимых неучтенных факторов, которые определяют неопределенность модели и соответствующих экспериментов. То есть на первом уровне неопределенности достаточно учесть еще один фактор. На втором - вероятностную пару факторов. На третьем - качественную объемную волну трех факторов. На четвертом - фоновую неустранимую энтропию четырех факторов.

• Проблема в том, что эти факторы находятся вне зоны научных знаний, а точнее - в тени известных моделей. И требуют таланта для их открытия.

• Но можно полагать, что обычно эта неопределенность составляет 2-3 независимых фактора. Отсюда можно предположить, что в исходной задаче вероятность наличия фактора при положительном тесте составит 30-40%. Тесты на качественно другой модельной основе пропорционально будут увеличивать точность диагноза.

• В общем вспоминаем 4 принципа Декарта.

Подобно тому как обилие законов нередко дает повод к оправданию пороков и государство лучше управляется, если законов немного, но они строго соблюдаются, так и вместо большого числа правил, составляющих логику, я заключил, что было бы достаточно четырех следующих, лишь бы только я принял твердое решение постоянно соблюдать их без единого отступления.

Первое — никогда не принимать за истинное ничего, что я не признал бы таковым с очевидностью, т. е. тщательно избегать поспешности и предубеждения и включать в свои суждения только то, что представляется моему уму столь ясно и отчетливо, что никоим образом не сможет дать повод к сомнению.

Второе — делить каждую из рассматриваемых мною трудностей на столько частей, сколько потребуется, чтобы лучше их разрешить.

Третье — располагать свои мысли в определенном порядке, начиная с предметов простейших и легкопознаваемых, и восходить мало-помалу, как по ступеням, до познания наиболее сложных, допуская существование порядка даже среди тех, которые в естественном ходе вещей не предшествуют друг другу.

И последнее — делать всюду перечни настолько полные и обзоры столь всеохватывающие, чтобы быть уверенным, что ничего не пропущено.

Так как история переполнена эмоциональной нетерпимостью, то лучше начать с примеров физических.

а) Закон сохранения энергии наполовину фиктивен. Это обнаруживается уже на уровне элементарной задачи столкновения шаров. Логика подсказывает, что уравнение получается квадратным - а реальность единственна. А решение уравнения дает два результата - один реальный и второй фиктивный = шары проходят сквозь друга будто призраки. Представьте себе сложность обнаружения фиктивного решения в более сложных формах энергии (химическая, электро-магнитная, ядерная).

б) Декларируемая в квантовой механике и теории относительности нулевая энергия тела в покое - то есть mc² - в сотни тысяч раз превышает энергию всех ядерных связей тела (его расщепления на отдельные протоны). А ведь протон вечен и неразрушим - как только его не пытаются бомбардировать в сверхускорителях. То есть нет там ничего более энергии ядерных связей.

в) В квантовой механике, отвечающей за знание реальности на уровне микромира, действуют сотни виртуальных (то есть воображаемых-фантастических) частиц, без которых у физиков концы с концами никак не сходятся и которые разнообразно и в разы и десятки раз нарушают законы сохранения массы и энергии. Собственно, чего можно было ждать когда реальную массу физики измеряют фиктивной энергией.

г) Теория относительности отвечает за картину движения небесных тел, картину нашей галактики и вселенной. В 20-е годы эта теория скукожила мир до нашей галактики, до сотни тысяч световых лет максимум. Ведь Вселенная замкнута и вот вам результаты последних измерений звездной дальности. Через 10 лет Хаббл расширил Вселенную в сотню раз - она осталась замкнутой, зато проявилось новое чудо, вселенная еще и невечная - смотрите "вселенная расширяется" и - так как она замкнута - значит был момент первичного толчка, чудесного РОЖДЕНИЯ, большого взрыва. Бум!!! Чудо действительно чудесное и божественно непознаваемое - эта сингулярная точка рождения, бесконечно малого размера и бесконечно большой массы в бесконечно неопределенном в этой точке времени.

А ныне благодаря нестыковкам теории с реалом и научному воображению вселенная переполнена темной материей и энергией, где на долю видимой материи (то есть видимой хоть как-нибудь самыми современными приборами) приходится не более 4% от всей материи-энергии, прямо проявляющейся в движении звезд и галактик и в ультрановейших модификациях теории относительности.

А чего вы ждали от Вселенной, если в основе теории Эйнштейна лежит сферическая геометрия Римана разработанная для центрированной электростатики и соответствующей электродинамики взаимодействий. Конечно Вселенная окажется замкнутой - ведь ее теоретическая модель сама по себе сферически замкнута. Конечно пространство окажется искривленным массами, ведь сферическая геометрия Римана строится изначально искривленной согласно круговому пространственному убыванию электростатического потенциала. Конечно скорость взаимодействия окажется ограниченной скоростью света - так и задумано изначально в геометрии Римана для электродинамики.

Еще раз.

• Понятие энергии и закон ее сохранения наполовину фиктивны. А ведь это центральная скрепа всего современного естествознания.
• Начальная энергия mc² в телескопах и микроскопах в 500 тысяч раз превышает энергию всех внутриядерных связей.

• 95% физических сущностей в макромире и микромире носят воображаемый/виртуальный характер. Ненаблюдаемый никакими приборами.

John Horgan
Теорема Байеса: из-за чего весь сыр-бор?

Теорему Байеса называют мощным методом создания нового знания, но её можно использовать и для рекламы суеверий и псевдонауки

Теорема Байеса стала такой популярной, что её даже показали в телешоу «Теория Большого взрыва». Но, как и любой инструмент, её можно использовать во благо или во вред.

Не знаю точно, когда впервые я услышал про неё. Но по-настоящему я начал проявлять интерес к ней только в последние лет десять, после того, как несколько самых больших ботанов из моих студентов начали рекламировать её как волшебного проводника в жизни.

Разглагольствования студентов запутали меня, как и объяснения теоремы на Википедии и других сайтах – они были либо совсем тупые, либо слишком сложные. Я решил, что Байес – преходящая причуда, и в глубоких исследованиях смысла нет. Но теперь байесовская лихорадка стала слишком назойливой, чтобы её игнорировать.

Как пишет The New York Times, байесовская статистика «проникает везде, от физики до исследований рака, от экологии до психологии». Физики предложили байесовские трактовки квантовой механики и байесовские защиты теории струн и теории мультивселенных. Философы рассуждают о том, что всю науку в целом можно рассматривать, как байесовский процесс, и что Байес помогает отличить науку от псевдонауки лучше, чем метод фальсифицируемости, популяризованный Карлом Поппером.
// О Поппере и его принципе.
 

Исследователи искусственного интеллекта, включая разработчиков робомобилей в Google, применяют ПО Байеса, чтобы помогать машинам распознавать закономерности и принимать решения. Байесовские программы, согласно Шэрон Бёрщ Макгрейн [Sharon Bertsch McGrayne], автору популярной истории теоремы Байеса, «сортируют емейл и спам, оценивают медицинские риски и государственную безопасность, расшифровывают ДНК, прочее». На сайте Edge.org физик Джон Мэтер беспокоится, что байесовые машины могут стать настолько умными, что вытеснят людей.

Когнитивисты предполагают, что в нашем мозге работают алгоритмы Байеса, когда он ощущает, размышляет и принимает решения. В ноябре учёные и философы изучали эту возможность на конференции в Нью-Йоркском университете под названием «Работает ли мозг по Байесу?»

Фанатики настаивают, что если бы больше людей приняло метод мышления Байеса (вместо бессознательной работы по Байесу, которая, якобы, идёт в мозге), мир был бы гораздо лучше. В статье «Интуитивное объяснение теоремы Байеса» теоретик ИИ Элизер Юдковский говорит об обожании Байеса:

«Почему математическая концепция вызывает такой странный энтузиазм среди её изучающих? Что есть т.н. „байесовская революция“, которая прокатывается по различным областям науки, заявляющая о поглощении даже экспериментальных методов как особых случаев? Что за секрет известен приверженцам Байеса? Какой свет они увидели? Скоро вы узнаете. Скоро вы будете одним из нас». Юдковский шутит. Или нет?

Из-за всей этой шумихи я попытался раз и навсегда разобраться с Байесом. Лучшие из объяснений теоремы среди бесчисленного их множества в интернете я нашёл у Юдковского, в Википедии и в работах философа Кёртиса Брауна и специалистов по информатике Оскара Бонилла и Калида Азада. Сейчас я попытаюсь, в основном и для себя тоже, объяснить, в чём суть теоремы.

Теорема Байеса, названная так в честь пресвитерианского священника XVIII века Томаса Байеса [правильная транскрипция – Бейз / прим. перев.] – это метод подсчёта обоснованности верований (гипотез, заявлений, предложений) на основе имеющихся доказательств (наблюдений, данных, информации). Наипростейшая версия звучит так: 

изначальная вера + новые свидетельства = новая, улучшенная вера

Если подробнее: вероятность того, что убеждение истинно с учётом новых свидетельств равна вероятности того, что убеждение было истинно без этих свидетельств, помноженной на вероятность того, что свидетельства истинны в случае истинности убеждений, и делённой на вероятность того, что свидетельства истинны вне зависимости от истинности убеждений. Понятно?

Простая математическая формула выглядит так:

P(B|E) = P(B) * P(E|B) / P(E)

Где P – вероятность, B – убеждение, E – свидетельства. P(B) – вероятность того, что B – истинно, P(E) – вероятность того, что E истинно. P(B|E) – вероятность B в случае истинности E, а P(E|B) – вероятность E в случае истинности B.

Для демонстрации работы формулы часто используют пример с медицинскими анализами. Допустим, вас проверяют на наличие рака, который появляется у 1% людей вашего возраста. Если тест на 100% надёжен, то вам не нужна теорема Байеса, чтобы понять, что означает положительный результат – но давайте просто посмотрим на такую ситуацию для примера.

Чтобы подсчитать значение P(B|E), нужно разместить данные в правой части уравнения. P(B), вероятность того, что у вас рак до тестирования, равна 1%, или 0,01. Такова же и P(E), вероятность того, что результат теста будет положительным. Так как они стоят в числителе и знаменателе, они сокращаются, и остаётся P(B|E) = P(E|B) = 1. Если результат анализов будет положительный, у вас рак, и наоборот.

В реальном мире надёжность анализов редко достигает 100%. Допустим, ваш тест надёжен на 99%. То есть, 99 из 100 человек, больных раком, получат положительный результат, и 99 здоровых людей из 100 получат отрицательный результат. И это всё равно будет удивительно надёжный тест. Вопрос: если ваш тест положительный, какова вероятность того, что у вас рак?

Вот теперь теорема Байеса показывает всю мощь. Большинство людей посчитают, что ответ — 99%, или где-то так. Ведь тест настолько надёжен, верно? Но правильный ответ будет – всего лишь 50%. 

Чтобы узнать, почему, вставьте данные в правую часть уравнения. P(B) всё ещё равна 0,01. P(E|B), вероятность получить положительный тест в случае рака, равна 0,99. P(B) * P(E|B) = 0,01 * 0,99 = 0,0099. Такова вероятность того, что вы получите положительный тест, показывающий, что вы больны.

Что насчёт знаменателя, P(E)? Тут есть небольшая хитрость. P(E) – вероятность получить положительный тест вне зависимости от того, больны ли вы. Иначе говоря, в неё входят ложные положительные срабатывания и истинные положительные срабатывания.

Чтобы подсчитать вероятность ложного положительного срабатывания, нужно умножить количество ложных срабатываний, 1% или 0,01, на процент людей, не больных раком – 0,99. Получается 0,0099. Да, ваш отличный тест с 99%-й точностью выдаёт столько же ложных срабатываний, сколько и истинных.

Закончим подсчёты. Чтобы получить P(E), сложим истинные и ложные срабатывания, получим 0,0198, поделим на это 0,0099, и получим 0,5. Итак, P(B|E), вероятность того, что у вас есть рак в случае положительного теста, равна 50%.

Если вы ещё раз пройдёте тест, то можете кардинально уменьшить неопределённость, поскольку вероятность наличия у вас рака P(B) будет уже 50% вместо 1. Если второй тест тоже будет положительным, по теореме Байеса вероятность наличия у вас рака будет равна 99%, или 0,99. Как показывает этот пример, повторение теоремы может дать очень точный ответ.

Но если надёжность теста 90%, что совсем неплохо, шансы на наличие у вас рака даже в случае дважды полученных положительных результатов всё ещё меньше 50%. 

Большинство людей, включая врачей, с трудом понимают это распределение шансов, что объясняет излишнее количество диагнозов и лечений рака и других болезней. Этот пример говорит о том, что байесианцы правы: мир был бы лучше, если бы больше людей – хотя бы больше пациентов и врачей – приняли бы байесовскую логику.

С другой стороны, теорема Байеса – это лишь сведение в кодекс здравого смысла. Как пишет Юдковский к концу своего обучающего материала: «К этому моменту теорема Байеса может казаться совершенно очевидной и напоминать тавтологию, вместо того чтобы быть удивительной и новой. В таком случае это введение достигло своей цели».

Возвращаясь к примеру с раком: теорема Байеса говорит, что вероятность наличия у вас рака в случае положительных результатов теста равна вероятности получения истинного положительного результата, делённой на вероятность всех положительных результатов, истинных и ложных. В общем, остерегайтесь ложных положительных результатов.

Вот моё обобщение этого принципа: достоверность вашего убеждения зависит от того, насколько сильно ваше убеждение объясняет существующие факты. Чем больше вариантов объяснения фактов, тем менее достоверно ваше личное убеждение. С моей точки зрения, в этом состоит суть теоремы.

«Альтернативные объяснения» могут включать в себя много всего. Ваши факты могут быть ложными, полученными при помощи неправильно сработавшего инструмента, неверного анализа, склонности к получению нужного результата и даже подделанными. Ваши факты могут быть точными, но их могут объяснять множество других убеждений или гипотез.

Иначе говоря, в теореме Байеса нет никакого волшебства. Всё сводится к тому, что ваши убеждения достоверны настолько, насколько верны свидетельства в их пользу. Если у вас есть хорошие доказательства, теорема выдаёт годные результаты. Если доказательства так себе, теорема вам не поможет. Мусор на входе, мусор на выходе.

Проблемы с теоремой могут начинаться с величины P(B), изначального предположения по поводу вероятности ваших убеждений, часто называемой априорной вероятностью. В примере выше у нас была красивая и точная априорная вероятность 0,01. В реальном мире эксперты спорят по поводу того, как диагностировать и учитывать рак. Ваша априорная вероятность, скорее всего, будет состоять из диапазона, а не из одного числа.

Во многих случаях оценка априорной вероятности основывается лишь на догадках, и позволяет субъективным факторам вкрадываться в подсчёты. Можно догадываться, что вероятность существования чего-либо – в отличие от того же рака – просто нулевая, к примеру, струн, мультивселенной, инфляции или бога. Вы можете ссылаться на сомнительные подтверждения сомнительной веры. В таких случаях теорема Байеса может рекламировать псевдонауку и суеверия, наряду со здравым смыслом.

В теореме содержится назидание: если вы недостаточно скрупулёзно ищете альтернативные объяснения имеющихся свидетельств, то свидетельство лишь подтвердит то, во что вы уже верите. Учёные часто упускают это из вида, что объясняет, почему такое большое количество научных заявлений оказываются неверны. Байесианцы утверждают, что их методы могут помочь учёным преодолеть склонность к поискам подтверждающих их веру фактов и выдавать больше надёжных результатов – но я в этом сомневаюсь.

Как я уже упоминал, некоторые энтузиасты теории струн и мультивселенных используют байесовский анализ. Почему? Потому что энтузиасты устали слышать о том, что теория струн и теория мультивселенной нефальсифицируемы, а следовательно, ненаучны. Теорема Байеса позволяет им представить эти теории в лучшем свете. В этих случаях теорема не уничтожает предвзятость, а потакает ей.

Как писал журналист, работающий с научно-популярными темами, Фэй Флэм в The New York Times, байесовская статистика «не может спасти нас от плохой науки». Теорема Байеса универсальна и может служить любой цели. Выдающийся специалист по байесовской статистике Дональд Рубин работал консультантом табачных компаний на судебных процессах, связанных с полученными от курения заболеваниями.

И всё же я восхищаюсь теоремой Байеса. Она напоминает мне теорию эволюции, ещё одну идею, кажущуюся до тавтологии простой или удручающе глубокой, в зависимости от точки зрения, и точно так же вдохновившую людей как на всякий вздор, так и на удивительные открытия.

Возможно, оттого, что мой мозг работает по Байесу, мне повсюду начинают видеться аллюзии на эту теорему. Пролистывая собрание сочинений Эдгара Аллана По на своём Kindle, я наткнулся на следующее предложение из «Повести о приключениях Артура Гордона Пима»: «В силу наших пристрастий или предубеждений мы не способны извлекать урок даже из самых очевидных вещей» [пер. Георгий Павлович Злобин].

Учитывайте это перед тем, как записываться в приверженцы Байеса.